（2014•吉林二模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足sinBsinA=1−cosBcosA．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A

Question

（2014•吉林二模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足(sinB)/(sinA)=(1−cosB)/(cosA)．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（　　）

A．(8+5√(3))/(4)
B．(4+5√(3))/(4)
C．3
D．(4+5√(3))/(2)

Answer 1

∵△ABC中，(sinB)/(sinA)=(1−cosB)/(cosA)，
∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=sinA，
∴A=C，又b=c，
∴△ABC为等边三角形；

∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC
=(1)/(2)|OA|•|OB|sinθ+(1)/(2)×|AB|²×(√(3))/(2)
=(1)/(2)×2×1×sinθ+(√(3))/(4)（|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cosθ）
=sinθ+(√(3))/(4)（4+1-2×2×1×cosθ）
=sinθ-√(3)cosθ+(5√(3))/(4)
=2sin（θ-(π)/(3)）+(5√(3))/(4)，
∵0＜θ＜π，
∴-(π)/(3)＜θ-(π)/(3)＜(2π)/(3)，
∴当θ-(π)/(3)=(π)/(2)，即θ=(5π)/(6)时，sin（θ-(π)/(3)）取得最大值1，
∴平面四边形OACB面积的最大值为2+(5√(3))/(4)=(8+5√(3))/(4)．
故选：A．