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已知a-b=b-c=3/5,a^2+b^2+c^2=1,求ab+bc+ca
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已知 a-b=b-c=3/5,a^2+b^2+c^2=1,求ab+bc+ca
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答案和解析
解 a-b=b-c=3/5,a²+b²+c²=1,求ab+bc+ca
因为 a²+b²+c²=1
所以 a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=1-（ab+bc+ca）
所以 2[a²+b²+c²-（ab+bc+ca]=2[1-（ab+bc+ca)]
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=2-2(ab+bc+ca)
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=2-2(ab+bc+ca)
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=2-2(ab+bc+ca)
因为 a-b=b-c=3/5
所以 (a-b)+(b-c)=3/5+3/5
a-c=6/5
所以 (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²
=(3/5)²+(3/5)²+(6/5)²=54/25
所以 54/25=2-2(ab+bc+ca)
所以 (ab+bc+ca)=-4/50
因为 a²+b²+c²=1
所以 a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=1-（ab+bc+ca）
所以 2[a²+b²+c²-（ab+bc+ca]=2[1-（ab+bc+ca)]
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=2-2(ab+bc+ca)
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ac+c²)=2-2(ab+bc+ca)
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=2-2(ab+bc+ca)
因为 a-b=b-c=3/5
所以 (a-b)+(b-c)=3/5+3/5
a-c=6/5
所以 (a-b)²+(b-c)²+(a-c)²
=(3/5)²+(3/5)²+(6/5)²=54/25
所以 54/25=2-2(ab+bc+ca)
所以 (ab+bc+ca)=-4/50
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