在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）．（1）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两

Question

在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）．
（1）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两点，求证：CM=CN；
（2）已知点D（4，6），求点D关于直线AB对称的点的坐标；
（3）若E是线段OB上一点，∠AEO=67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求(GE)/(AE-OF)的值．

Answer 1

（1）连接OC，
∵OA=OB=6，C为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC=AC=BC，
∴∠MOC=45°=∠NBC，
∵∠MCO+∠OCN=∠OCN+∠NCB=90°，
∴∠MCO=∠NCB，
在△OCM和△BCN中，

∠MOC=∠NBC

OC=BC

∠MCO=∠NCB

，
∴△OCM≌△BCN（ASA），
∴CM=CN；

（2）过D作DD′⊥AB于H，交y轴于D′，
∵∠OAB=45°，
∴∠BAD=45°，
∵∠AHD=90°，
∴∠ADD′=45°，
∴AB为DD′的垂直平分线，
∴D′为D点关于AB的对称点，
∵D（4，6），
∴AD′=AD=4，
∴OD′=6-4=2，
∴D′（0，2）；

（3）过B作BM⊥OF于M，则∠M=90°，
∵AE⊥OF，∠AOE=90°，
∴∠AGO=∠M=90°，∠OAG=∠BOM，
在△AOG和△OBM中，

∠OAG=∠BOM

AO=OB

∠AGO=∠M

，
∴△AOG≌△OBM（AAS），
∴AG=OM，OG=BM，
∵∠AEO=67.5°，OF⊥AE，∠AOE=90°，
∴∠EOG=22.5°=∠OAG，
又∵∠OAB=45°，
∴∠BAE=22.5°，
∵AE∥BM，
∴∠MBF=∠BAE=22.5°，
∴∠FBM=∠EOG，
在△OGE和△BFM中，

∠OGE=∠M

OG=BM

∠FBM=∠EOG

，
∴△OGE≌△BFM（ASA），
∴GE=FM，
∵AE=AG+GE，OF=OM-FM，
∴AE-OF=（AG+GE）-（OM-FM）=GE+FM=2GE，
∴(GE)/(AE-OF)=(GE)/(2GE)=(1)/(2)．