点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x2+3y2=4（x≠±1）的图象上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，那么点P的坐标为（53，±339）（53

Question

点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且P点在x²+3y²=4（x≠±1）的图象上，设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，则存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，那么点P的坐标为

（(5)/(3)，±(√(33))/(9)）

（(5)/(3)，±(√(33))/(9)）

．

Answer 1

∵点B与点A（-1，1）关于原点O对称，∴点B的坐标为（1，-1）．
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀），
则(1)/(2)|PA|•|PB|sin∠APB=(1)/(2)|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴(|PA|)/(|PM|)=(|PN|)/(|PB|)，
∴(|x0+1|)/(|3−x0|)=(|3−x0|)/(|x0−1|)，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=(5)/(3)．
∵点P在x²+3y²=4（x≠±1）的图象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±(√(33))/(9)，
∴存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（(5)/(3)，±(√(33))/(9)）．
故答案是：（(5)/(3)，±(√(33))/(9)）．