设矩阵A=1−11x4y−3−35，已知A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角形矩阵．

Question

设矩阵A=

1	−1	1
x	4	y
−3	−3	5

，已知A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角形矩阵．

Answer 1

∵A有三个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，
∴λ=2对应着两个线性无关的特征向量，
从而：特征方程|2E-A|X=0的基础解系有两个解向量，
则有：r（2E-A）=1，
又：2E−A＝

1	1	−1
−x	−2	−y
3	3	−3

r2+xr1，r3−3r1

1	1	−1
0	x−2	−x−y
0	0	0

，
∴x-2=0，-x-y=0，
即：x=2，y=-2，
于是：A＝

1	−1	1
2	4	−2
−3	−3	5

，
则A的特征多项式为：
|λE−A|＝

.

λ−1	1	−1
−2	λ−4	2
3	3	λ−5

.

=（λ-2）²（λ-6），
解得A的特征值为：λ₁=λ₂=2，λ₃=6，
下面求出对应特征值的特征向量：
①当特征值为2时，
解线性方程组|2E-A|X=0，
由于：2E−A＝

1	1	−1
−2	−2	2
3	3	−3

r2+2r1，r3−3r1

1	1	−1
0	0	0
0	0	0

，
∴解得对应的特征向量为：
α1＝(1，−1，0)T，α2＝(1，0，1)T，
②当特征值为6时，
解线性方程组|6E-A|X=0，
由于：
6E−A＝

5	1	−1
−2	2	2
3	3	1

1	0	−(1)/(3)
0	1	(2)/(3)
0	0	0

，
∴解得对应的特征向量为：
α3＝(1，−2，3)T，
于是，令：P=（α₁，α₂，α₃）=

1	1	1
−1	0	−2
0	1	3

，
则：P−1AP＝

2	0	0
0	2	0
0	0	6

．