又一道线性代数题设矩阵A的伴随矩阵1000,0100A*=10100-308且ABA^(-1)=BA^(-1)+3E,求矩阵B;(

Question

又一道线性代数题
设矩阵A的伴随矩阵 1 0 0 0 ,
0 1 0 0
A*= 1 0 1 0
0-3 0 8
且ABA^(-1)=BA^(-1)+3E,求矩阵B ;(

Answer 1

公式 AA*=|A|E
由式子 ABA^(-1)=BA^(-1)+3E
先右乘A,得 AB=B+3A
再左乘A*,得|A|B=A*B+3|A|E
(|A|E-A*)B=3|A|E (1)
再由公式|A*|=|A|的N-1次方
可求出|A|=2 (由题可得 |A*|=8 )
代入(1)式
得 (2E-A*)B=6E
所以B= 1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1/2 0 -1/6