1=1²2²=(1+1)²=1²+2×1+13²=(2+1)²+2×2+1……n²=(n-1﹚²+2（n-1)+1类比上述推理方法写出求1²+2²+3²+……n^2的表达式过程求详解

Question

1=1² 2²=(1+1)²=1²+2×1+1 3²=(2+1)²+2×2+1 …… n²=(n-1﹚²+2（n-1)+1类比上述推理方法写出求1²+2²+3²+……n^2的表达式过程 求详解

Answer 1

[解析] 我们记
S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n,
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2,…
Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝ 1,
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1,
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1,
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1,……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加,得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知
S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6
＝n(n＋1)(2n＋1)6.
【欢迎追问,】