已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a2n+1=2Sn+n+4，a2-1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=（-1）nanbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a

2

n+1

=2S_n+n+4，a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（-1）ⁿa_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（I）∵a_n+1²=2S_n+n+4，∴当n≥2时，a_n²=2S_n-1+n+3，两式相减可得：a_n+1²-a_n²=2a_n+1，
∴a_n+1²=（a_n+1）²，
∵数列{a_n}是各项均为正数的数列，∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴a₂-a₁=1．又a₂²=2a₁+5，联立解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴a₂-1=2，a₃=4，a₇=8，
∴等比数列{b_n}的公比q=(4)/(2)=2，首项为2．
∴b_n=2ⁿ，
（Ⅱ）c_n=（-1）ⁿa_nb_n=（-1）ⁿ（n+1）2ⁿ=（n+1）（-2）ⁿ，
∴T_n=2×（-2）+3×（-2）²+4×（-2）³+…+（n+1）（-2）ⁿ，①
-2T_n=2×（-2）²+3×（-2）³+4×（-2）⁴+…+n（-2）ⁿ+（n+1）（-2）ⁿ⁺¹，②
相减可得3T_n=（-2）+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ-（n+1）（-2）ⁿ⁺¹=((-2)[1-(-2)n])/(1-(-2))-（n+1）（-2）ⁿ⁺¹=-(3n+2)/(3)•（-2）ⁿ⁺¹-(2)/(3)
∴T_n=-(3n+2)/(9)•（-2）ⁿ⁺¹-(2)/(9)