如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向一每秒2个单位长的速度移动,当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动.

Question

如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向一每秒2个单位长的速度移动,当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动.设点E移动的时间为t(秒）（1）求当t为何值时,两点同时运动；（2）求当t为何值时,EC是角BED的平分线；（3）设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围；（4）求当t为何值时,三角形EFC是等腰三角形.

Answer 1

⑴DE=t,CF=2t,
DF=2t-5,
∵ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴ΔFDE∽ΔFCB,
∴DE/BC=DF/CF,t/10=(2t-5)/2t,解得：t=5,
∴当t=5秒 时两点同时停止运动.
⑵∵∠DEC=∠BCE,当CE平分∠BED时,∠DEC=∠BEC,
∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=10,
在RTΔABE中,AE=√(BE^2-AB^2)=5√3,
∴DE=10-5√3,∴t=10-5√3.
⑶S梯形BCDE=1/2(t+10)*5=5/2t+25,
当0≤2t≤5,即0≤t≤5/2时,SΔDEF=1/2DE*DF=1/2*t*(5-2t)=5/2t-t^2,
S四边形BCFE=S梯形BCDE-SΔDEF=25+t^2.
当5/2S四边形BCFE=S梯形BCDE+SΔDEF
=5/2t+25+1/2t(2t-5)
=25+t^2.
综上所述,S=25+t^2.
⑷①CE=CF,2t=√(t^2+25),3t^2=25,t=5√3/3,
②EF=CF,t^2+(2t-5)^2=(2t)^2,t=10-5√3,(另一根大于5舍去)
③EF=CE,ΔEFC是等腰三角形,又ED⊥CF,
∴DE垂直平分CF,∴DF=CD=5,∴2t=10,t=5,
∴当t=5√3/3或10-5√3或5时,ΔCEF是等腰三角形.