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(2012•曲阜市模拟)已知:如图,BD为⊙O的直径,点A是劣弧BC的中点,AD交BC于点E,连接AB.(1)求证:AB2=AE•AD;(2)过点D作⊙O的切线,与BC的延长线交于点F,若AE=2,ED=4,求EF的长.
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(1)求证:AB2=AE•AD;
(2)过点D作⊙O的切线,与BC的延长线交于点F,若AE=2,ED=4,求EF的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵点A是劣弧BC的中点,
∴∠ABC=∠ADB.(1分)
又∵∠BAD=∠EAB,
∴△ABE∽△ADB.(2分)
∴
=
.
∴AB2=AE•AD.(3分)
(2)∵AE=2,ED=4,
∵△ABE∽△ADB,
∴
=
,
∴AB2=AE•AD,
∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=12.
∴AB=2
(舍负).(4分)
∵BD为⊙O的直径,
∴∠A=90°.
又∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥BD.
∴∠BDF=90°.
在Rt△ABD中,tan∠ADB=
=
=
,
∴∠ADB=30°.
∴∠ABC=∠ADB=30°.
∴∠DEF=∠AEB=60°,∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°.
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°.
∴△DEF是等边三角形.
∴EF=DE=4.(5分)
∴∠ABC=∠ADB.(1分)
又∵∠BAD=∠EAB,
∴△ABE∽△ADB.(2分)
∴
AB |
AE |
AD |
AB |
∴AB2=AE•AD.(3分)
(2)∵AE=2,ED=4,
∵△ABE∽△ADB,
∴
AB |
AE |
AD |
AB |
∴AB2=AE•AD,
∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=12.
∴AB=2
3 |
∵BD为⊙O的直径,
∴∠A=90°.
又∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥BD.
∴∠BDF=90°.
在Rt△ABD中,tan∠ADB=
AB |
AD |
2
| ||
6 |
| ||
3 |
∴∠ADB=30°.
∴∠ABC=∠ADB=30°.
∴∠DEF=∠AEB=60°,∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°.
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°.
∴△DEF是等边三角形.
∴EF=DE=4.(5分)
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