求能被5整除,被715除余10,被247除余140,被391除余245,被187除余109的最小整数.不要用方程!

Question

求能被5整除,被715除余10,被247除余140,被391除余245,被187除余109的最小整数.
不要用方程!

Answer 1

条件写为:被5整除,被5·11·13除余10,被13·19除余140,被17·23除余245,被11·17除余109.
可以重写为:被5整除,被11除余10,被13除余10,被17除余7,被19除余7,被23除余15.
对于除数5,11,13,17,19,23,求被其中一个除余1,同时被其它数整除的数.
11·13·17·19·23 ≡ 1·3·2·(-1)·(-2) ≡ 2 (mod 5),
因此3·11·13·17·19·23 ≡ 3·2 ≡ 1 (mod 5),记a = 3·11·13·17·19·23.
5·13·17·19·23 ≡ 5·2·6·(-3)·1 ≡ -4 (mod 11),
因此-3·5·13·17·19·23 ≡ (-3)·(-4) ≡ 1 (mod 11),记b = -3·5·13·17·19·23.
5·11·17·19·23 ≡ 5·(-2)·4·6·(-3) ≡ 5 (mod 13),
因此-5·5·11·17·19·23 ≡ (-5)·5 ≡ 1 (mod 13),记c = -5·5·11·17·19·23.
5·11·13·19·23 ≡ 5·(-6)·(-4)·2·6 ≡ -5 (mod 17),
因此-7·5·11·13·19·23 ≡ (-7)·(-5) ≡ 1 (mod 17),记d = -7·5·11·13·19·23.
5·11·13·17·23 ≡ 5·(-8)·(-6)·(-2)·4 ≡ -1 (mod 19),
因此-5·11·13·17·23 ≡ 1 (mod 19),记e = -5·11·13·17·23.
5·11·13·17·19 ≡ 5·11·(-10)·(-6)·(-4) ≡ 2 (mod 23),
因此-11·5·11·13·17·19 ≡ (-11)·2 ≡ 1 (mod 23),记f = -11·5·11·13·17·19.
可以知道n = 0a-b-3c+7d+7e-8f是一个满足条件的整数.
n/(5·11·13·17·19·23) = 3/11+15/13-49/17-7/19+88/23
= 3/11+2/13+2/17-7/19-4/23+2
= (39+22)/143+2/17-7/19-4/23+2
= 1323/2431-7/19-4/23+2
= 8120/46189-4/23+2
= 2004/(11·13·17·19·23)+2.
于是n-2·5·11·13·17·19·23 = 5·2004 = 10020 < 5·11·13·17·19·23,
是满足条件的最小正整数.