求一多项式f(x)是7次多项式,f(x)+1能被(x-1)^4整除,f(x)-1能被(x+1)^4整除,求f(x)?(最好用导数方法做)

Question

求一多项式
f(x)是7次多项式,f(x)+1能被(x-1)^4整除,f(x)-1能被(x+1)^4整除,求f(x)?(最好用导数方法做)

Answer 1

由条件可以知道f'(x)可以被(x-1)^3和(x+1)^3同时整除,于是f'(x)=a(x^2-1)^3
即f'(x)=a(x^6-3x^4+3x^2-1),从而
f(x)=a[(x^7)/7-3(x^5)/5+x^3-x]+c
由f(1)+1=0,f(-1)-1=0可得：
a[1/7-3/5]+c=-1
a[-1/7+3/5]+c=1
故c=0,a=-35/16
于是f(x)=-5(x^7)/16+21(x^5)/5-35(x^3)/16+35x/16