已知F1，F2是椭圆x245+y220=1的两个焦点，M是椭圆上的点，且MF1⊥MF2．（1）求△MF1F2的周长；（2）求点M的坐标．

Question

已知F₁，F₂是椭圆(x2)/(45)+(y2)/(20)=1的两个焦点，M是椭圆上的点，且MF₁⊥MF₂．
（1）求△MF₁F₂的周长；
（2）求点M的坐标．

Answer 1

椭圆(x2)/(45)+(y2)/(20)=1中，长半轴a=3√(5)，焦距2c=2√(45-20)=10
（1）根据椭圆定义，|MF1|+|MF2|=2a=6√(5)
所以，△MF₁F₂的周长为|F1F2|+|MF1|+|MF2|=6√(5)+10…（5分）
（2）设点M坐标为（x₀，y₀）．
由MF₁⊥MF₂得，|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=102=100
又(|MF1|+|MF2|)2=(6√(5))2=180
∴|MF1|•|MF2|=(1)/(2)[(|MF1|+|MF2|)2-(|MF1|2+|MF2|2)]2=40
∵S△MF1F2=(1)/(2)|MF1|•|MF2|=(1)/(2)|F1F2|•|y0|，
∴|y₀|=4，则|x₀|=3
∴点M坐标为（3，4）或（3，-4）或（-3，4）或（-3，-4）…（12分）