已知向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar也线性无关．

Question

已知向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，证明向量组  b₁=a₁，b₂=a₁+a₂，…，b_r=a₁+a₂+…+a_r也线性无关．

Answer 1

假设存在一组实数k₁，…，k_r，使得k₁b₁+…+k_rb_r=0，
即  k₁a₁+k₂（a₁+a₂）+…+k_r（a₁+…+a_r）=（k₁+…+k_r）a₁+（k₂+…+k_r）a₂+…+k_ra_r=0．
因为向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，所以

k1+…+kr＝0

…

kr−1+kr＝0

kr＝0

．
因为方程组的系数矩阵

.

1	1	…	1
0	1	…	1
⋮	⋮	⋱	⋮
0	0	0	1

.

=1≠0，
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得，
k₁=k₂=…=k_r=0．
故向量组b₁，b₂，…，b_r线性无关．