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已知向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar也线性无关．
题目详情
已知向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组 b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar也线性无关．
▼优质解答
答案和解析
假设存在一组实数k1，…，kr，使得k1b1+…+krbr=0，
即 k1a1+k2（a1+a2）+…+kr（a1+…+ar）=（k1+…+kr）a1+（k2+…+kr）a2+…+krar=0．
因为向量组a1，a2，…，ar线性无关，所以
．
因为方程组的系数矩阵
=1≠0，
所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得，
k1=k2=…=kr=0．
故向量组b1，b2，…，br线性无关．
即 k1a1+k2（a1+a2）+…+kr（a1+…+ar）=（k1+…+kr）a1+（k2+…+kr）a2+…+krar=0．
因为向量组a1，a2，…，ar线性无关，所以
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因为方程组的系数矩阵
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所以由齐次线性方程组存在非零解的充要条件可得，
k1=k2=…=kr=0．
故向量组b1，b2，…，br线性无关．
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