如图，点A、B分别是椭圆x236+y220＝1的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为3x+y−32＝0，且PA⊥PF．（Ⅰ）求直线PA的方程；（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等

Question

如图，点A、B分别是椭圆(x2)/(36)+(y2)/(20)＝1的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为√(3)x+y−3√(2)＝0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直线PA的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

Answer 1

（I）由题设知A（-6，0），B（6，0），直线AP的斜率为(√(3))/(3)，…（2分）
直线AP的方程为y＝(√(3))/(3)(x+6)，即x-√(3)y+6=0．…（4分）
（Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分）
由于M到直线AP的距离等于MB，
(|m+6|)/(√(1+(√(3))2))＝|m−6|．…（6分）
∵-6≤m≤6，∴(m+6)/(2)＝6−m解得m=2，
M的坐标为（2，0）．…（8分）
设P（x，y）是椭圆上任意一点，则(x2)/(36)+(y2)/(20)＝1．
d=√((x−2)2+y2)＝

作业帮用户 2016-12-15

问题解析

（I）由题设知A（-6，0），直线AP的斜率为(√(3))/(3)，从而可得直线AP的方程
（Ⅱ）设M（m，0）（-6≤m≤6）由于M到直线AP的距离等于MB，可得(|m+6|)/(√(1+(√(3))2))＝|m−6|结合-6≤m≤6，可求m，设P（x，y）是椭圆上任意一点，则(x2)/(36)+(y2)/(20)＝1．d=√((x−2)2+y2)＝√((4)/(9)x2−4x+24)，结合二次函数的性质可求

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．

考点点评：

本题主要考查了直线方程的点斜式在求解直线方程中的应用，结合椭圆的范围求解二次函数的最值，属于知识的简单综合．

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