若区间[x1，x2]的长度定义为|x2-x1|，函数f（x）=(m2+m)x-1m2x（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A.233B.33C.3D.3

Question

若区间[x₁，x₂]的 长 度 定 义 为|x₂-x₁|，函数f（x）=

((m2+m)x-1)/(m2x)（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（　　）

A.

(2√(3))/(3)

B.

(√(3))/(3)

C.

√(3)

D. 3

Answer 1

函数f（x）=((m2+m)x-1)/(m2x)（m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
 f（x）=((m2+m)x-1)/(m2x)=(m+1)/(m)-(1)/(m2x)在区间[a，b]上时增函数，
则有：

f(a)=a

f(b)=b

，
故a，b是方程f（x）=(m+1)/(m)-(1)/(m2x)=x的同号相异的实数根，
即a，b是方程（mx）²-（m²+m）x+1=0同号相异的实数根．
那么ab=(1)/(m2)，a+b=(m+1)/(m)，只需要△>0，
即（m²+m）²-4m²>0，解得：m>1或m<-3．
那么：n-m=√((a+b)2-4ab)=√(-3((1)/(m)-(1)/(3))2+(4)/(3))，
故b-a的最大值为(2√(3))/(3)，
故选：A．