用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，要使容器的容积最大，扇形的圆心角α=（）A．2π3B．233πC．63πD．263π

Question

用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，要使容器的容积最大，扇形的圆心角α=（　　）

A．(2π)/(3)
B．(2√(3))/(3)π
C．(√(6))/(3)π
D．(2√(6))/(3)π

Answer 1

设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r²+h²=R²，
因此，V=(1)/(3)πr2h=(1)/(3)πR2h−(1)/(3)πh3（0＜h＜R）
∴V′=(1)/(3)πR2−πh2．
令V′=0，得h=(√(3))/(3)R，
当0＜h＜(√(3))/(3)R时，V′＞0．
当(√(3))/(3)R＜h＜R时，V′＜0．
∴h=(√(3))/(3)R时，V取得极大值，并且这个极大值是最大值．
把h=(√(3))/(3)R代入r²+h²=R²，得r=(√(6))/(3)R．
由Rα=2πr，得α=(2√(6))/(3)π
即圆心角α为(2√(6))/(3)π弧度时，漏斗容积最大．
故选：D．