设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn-1+Sn+Sn+1=3n2+2（n≥2，n∈N+），（1）若{an}是等差数列，求{an}的通项公式；（2）若a1=1，①当a2=1时，试求S100；②若数列{an}为递增数列，且S3k=225，试求满足条件的

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N⁺），
（1）若{a_n}是等差数列，求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=1，
①当a₂=1时，试求S₁₀₀；
②若数列{a_n}为递增数列，且S_3k=225，试求满足条件的所有正整数k的值．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是等差数列，
且S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a1+(2a1+d)+(3a1+3d)＝3×22+2，①
（2a₁+d）+（3a₁+3d）+（4a₁+6d）=3×3²+2，②
联立①②，得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴S_n+S_n+1+S_n+2=3（n+1）²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+a_n+1+a_n+2=6n+3，n≥2，n∈N⁺），
∴S₁₀₀=a₁+（a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）
=1+6×(33)/(2)(2+98)+3×33
=10000．
（3）设a₂=x，由S_n-1+S_n+S_n+1=3n²+2，
得

S1+S2+S3＝14

S2+S3+S4＝29

，
∴

3a1+2a2+a3＝14

3a1+3a2+2a3+a4＝29

，
∴

a3＝11−2x

a4＝x+4

，
又S_n+S_n+1+S_n+2=3（n+1）²+2（n≥2，n∈N⁺），
∴a_n+a_n+1+a_n+2=6n+3，n≥2，n∈N⁺，
a_n-1+a_n+a_n+1=6n-3，n≥3，n∈N⁺，
∴a_n+2-a_n-1=6，n≥3，n∈N⁺，
∴a₄=x+6，
∵数列{a_n}为递增数列，
∴a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，解得(7)/(3)＜x＜(11)/(3)，
由S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_2k-2+a_2k-1+a_2k）
=12-x+(1)/(2)[6•4+3+6(3k−2)+3](k−1)
=9k²-x+3=225，
∴x-9k²-222∈（(7)/(3)，(11)/(3)），
解得k=5．