cos3°+cos75°+cos291°+cos147°+cos219°

Question

cos3°+cos75°+cos291°+cos147°+cos219°

Answer 1

方法1（以前写的,留在这里作为反面典型,正解为方法2）：
cos3°+cos75°+cos291°+cos147°+cos219°
=cos3+cos75+cos69-cos33-cos39
=(cos3-cos33)+(cos69-cos39)+cos75
=2sin15*sin18-2sin15*sin54+cos75
=2sin15*sin18-2sin15*sin54+sin15
=sin15(2sin18-2sin54+1)
=sin15(2sin18-2sin54+sin90)
=sin15[sin18+(sin90-sin54)-(sin54-sin18)]
=sin15[sin18+2sin18cos72-2sin18cos36]
=sin15*sin18*(1+2cos72-2cos36)
然而,cos36-cos72=cos36-2(cos36)^2+1
画一个顶角为36度的等腰三角形ABC,A为顶角顶点,在AB上取点D,使得角BCD为36度,并令BC=1,设AB＝x,得到：
三角形BCD与三角形BAC对应相似,故(x-1):1=1:x,因此
x=(√5+1)/2.故cosA=cos36=2*[(√5+1)^2/4-1]/(√5+1)^2*4
带入得到：2cos36-2cos72=1.
方法2（推荐）：令复数z=cos3+isin3,w=cos72+isin72.
由于w^5=1且w不等于1,所以w^4+w^3+w^2+w+1=0.
所以z(w^4+w^3+w^2+w+1)=0.
得到：
(cos3+isin3)+(cos75+isin75)+(cos291+isin291)+(cos147+isin147)+(cos219+isin219)=0.
比较两边的实部得到：
cos3°+cos75°+cos291°+cos147°+cos219°＝0.