若平面薄片D由曲线y=1−x2（0≤x≤1）与坐标轴围成，面密度为1，则该平面薄片对直线l：x+y=0的转动惯量Il=−215π−215π．

Question

若平面薄片D由曲线y=√(1−x2)（0≤x≤1）与坐标轴围成，面密度为1，则该平面薄片对直线l：x+y=0的转动惯量I_l=

−(√(2))/(15)π

−(√(2))/(15)π

．

Answer 1

平面薄片D是四分之一圆，处于第一象限，转轴x+y=0是二四象限的角平分线，为方便计算，我们旋转坐标轴至y轴和x+y=0重合．
于是转动惯量I_l=

∭

V

1×s2dV，其中s指的是薄片上的点到转轴的距离，用球坐标换元进行求解
I_l =

∫

1 0

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

∫

2π 0

s2r2sinφdθdφdr，其中s²=x²=r²sin²φcos²θ，带入积分中求解
Il=(

∫

1 0

r4dr)(

∫	(3π)/(4) (π)/(4)

sin3φdφ)(

∫

2π 0

cos2θdθ)=(1)/(5)×(−(√(2))/(3))×π=−(√(2))/(15)π