求满足下列条件的点及最大、最小值：(1)已知点A(－35)、B(215)试在直线l:3x－4y＋4=0上找一点，使|PA|＋|PB|最小，并求出最小值;(2)已知点A(41)、B(04)，试在直线l:3x

Question

求满足下列条件的点及最大、最小值：

(1)已知点 A (－3 5)、 B (2 15) 试在直线 l :3 x －4 y ＋4=0上找一点，使| PA |＋| PB |最小，并求出最小值;

(2)已知点 A (4 1)、 B (0 4)，试在直线 l :3 x － y －1=0上找一点 P ，使| PA |－| PB |的绝对值最大，并求出最大值.

Answer 1

(1)易求得 A 点关于 l 的对称点为 A ′(3 －3) 直线 A ′ B 的方程为 = 即  18 x ＋ y －51=0.

解方程组 得

∴所求 P 点的坐标为( 3).

此时，| PA |＋| PB |=| PA ′|＋| PB |=| A ′ B |= =5 为所求最小值.

若在 l 上任取异于 P 点的任意点 P ′，则由| P ′ A |＋| P ′ B |=| P ′ A ′|＋| P ′ B |＞| A ′ B |知只有 P 满足题意.

(2)易求 B 关于 l 的对称点 B ′(3 3).

直线 AB ′的方程为2 x ＋ y －9=0与3 x － y －1=0，联立得 P (2 5).

此时，|| PA |－| PB ||=|| PA |－| PB ′||=| AB ′|= 为所求最大值.

若设 l 上异于 P 点的任一点 P ′，则有|| PA ′|－| P ′ B ||=|| P ′ A |－| P ′ B ′||＜| AB ′|.故所求 P 点满足题意.