（2014•大港区二模）已知数列{an}中，a1=1，a2=14，且an+1=(n−1)ann−an（n=2，3，4，…）．Sn为数列{bn}的前n项和，且4Sn=bnbn+1，b1=2（n=1，2，3，…）．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设cn=bn•213

Question

（2014•大港区二模）已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=(1)/(4)，且a_n+1=((n−1)an)/(n−an)（n=2，3，4，…）．S_n为数列{b_n}的前n项和，且
4S_n=b_nb_n+1，b₁=2（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=b_n•2(1)/(3an)+(2)/(3)，求数列{c_n}的前n项的和P_n；
（3）证明对一切n∈N^*，有

n

k＝1

ak2＜(7)/(6)．

Answer 1

（1）由已知b₁=2，4S_n=b_nb_n+1，得b₂=4，
4S_n-1=b_n-1b_n，n≥2，4b_n=b_n（b_n+1-b_n-1），
由题意b_n≠0，即b_n+1-b_n-1=4，（n≥2），
当n为奇数时，b_n=2n；当n为偶数时，b_n=2n．
所以数列{a_n}的通项公式为b_n=2n，n∈N^*．…（4分）
（2）由已知，对n≥2有(1)/(an+1)=(n−an)/((n−1)an)=(n)/((n−1)an)−(1)/(n−1)，
两边同除以n，得(1)/(nan+1)＝(1)/((n−1)an)−(1)/(n(n−1))，
即(1)/(nan+1)−(1)/((n−1)an)＝−((1)/(n−1)−(1)/(n))，
于是，

n−1

k＝2

[(1)/(kak+1)−(1)/((k−1)ak)]=-

n−1

k＝2

((1)/(k−1)−(1)/(k))=-（1-(1)/(n−1)），
即(1)/((n−1)an)-(1)/(a2)=-（1-(1)/(n−1)），n≥2，
∴(1)/((n−1)an)=(1)/(a2)-（1-(1)/(n−1)）=