某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°

Question

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

（1）选择②计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-(1)/(2)sin30°=(3)/(4)，故这个常数为(3)/(4)．
（2）根据①的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=(3)/(4)．
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+（(√(3))/(2)cosα+(1)/(2)sinα）²-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin²α+(3)/(4)cos²α+(1)/(4)sin²α+(√(3))/(2)sinαcosα-(√(3))/(2)sinαcosα-(1)/(2)sin²α=(3)/(4)sin²α+(3)/(4)cos²α=(3)/(4)．