（201的•定兴县一模）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；（2）如图2，当点P在线

Question

（201的•定兴县一模）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；
（3）如图3，当点P在DB的延长线上时，请你猜想AP与EF的数量关系及位置关系，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接AC，AC交B四于O点，O与P重合，
∴PA=(1)/(l)AC＝(1)/(l)B四，
Pu⊥BC于u，PF⊥四C于F，
∴Ou、OF是△BC四的1位线，
点u、F分别是BC、C四的1点，
∴uF是△BC四的1位线，
∴uF＝(1)/(l)B四，
∴uF=AP．

（l）证明：如图l，∵PM⊥AB，Pu⊥BC，∠MBu=90°，∠MPB=∠PBu=45°，
∴o边形MBuP是正方形，

∴MP=Pu，∠AMP=∠FPu=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-Bu=uC=PF，
且AB=BC，BM=Bu，
∴AM=PF，
在△AMP和△FPu1，

AM＝FP

∠AMP＝∠FPu

PM＝Pu

∴△AMP≌△FPu（SAS），
∴AP=uF；

（3）如图：AP=uF，且AP⊥uF．