如图所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2．

Question

如图所示，AA₁∥BA₂，求∠A₁-∠B₁+∠A₂．

Answer 1

证明：分析本题对∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A₁，∠A₂，∠B₁的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即
∠A₁+∠A₂=∠B₁．①
猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B₁一分为二使其每一部分分别等于∠A₁与∠A₂．这就引发我们过B₁点引AA₁（从而也是BA₂）的平行线，它将∠B₁一分为二．
过B₁引B₁E∥AA₁，它将∠A₁B₁A₂分成两个角：∠1，∠2（如图所示）．
因为AA₁∥BA₂，所以B₁E∥BA₂．从而
∠1=∠A₁，∠₂=∠A₂（内错角相等），
所以
∠B₁=∠1+∠2=∠A₁+∠A₂，
即∠A₁-∠B₁+∠A₂=0．
说明（1）从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA₁∥BA₂，它与连接A₁，A₂两点之间的折线段的数目无关，如图所示．连接A₁，A₂之间的折线段增加到4条：A₁B₁，B₁A₂，A₂B₂，B₂A3，仍然有∠A₁+∠A₂+∠A3=∠B₁+∠B₂．
（即哪些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即
∠A₁-∠B₁+∠A₂-∠B₂+∠A3=0．
进一步可以推广为
∠A₁-∠B₁+∠A₂-∠B₂+-∠B_n-₁+∠A_n=0．
这时，连接A₁，A_n之间的折线段共有n段A₁B₁，B₁A₂，B_n-₁A_n（当然，仍要保持AA₁∥BA_n）．
推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．
（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．
问题1如图所示．∠A₁+∠A₂=∠B₁，问AA₁与BA₂是否平行？

问题2如图所示．若∠A₁+∠A₂+…+∠A_n=∠B₁+∠B₂+…+∠B_n-1，问AA₁与BA_n是否平行？
这两个问题请同学加以思考．