已知α∈R，sinα+2cosα＝102，则tan2α=．

Question

已知α∈R，sinα+2cosα＝(√(10))/(2)，则tan2α=______．

Answer 1

已知等式两边平方得：（sinα+2cosα）²=sin²α+4sinαcosα+4cos²α=(5)/(2)，
变形得：(sin2α+4sinαcosα+4cos2α)/(sin2α+cos2α)=(tan2α+4tanα+4)/(tan2α+1)=(5)/(2)，
整理得：3tan²α-8tanα-3=0，
即（3tanα+1）（tanα-3）=0，
解得：tanα=-(1)/(3)或tanα=3，
当tanα=-(1)/(3)时，tan2α=(2tanα)/(1−tan2α)=(2×(−(1)/(3)))/(1−(−(1)/(3))2)=-(3)/(4)；
当tanα=3时，tan2α=(2tanα)/(1−tan2α)=(2×3)/(1−9)=-(3)/(4)．
故答案为：-(3)/(4)