如图，抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．（1）求A、B、C、D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果

Question

如图，抛物线y=-x²+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．
（1）求A、B、C、D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E（m，n）是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

（1）令y=0，则-x²+x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=2，
所以，A（-1，0），B（2，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C（0，2），
对称轴为直线x=-(1)/(2×(−1))=(1)/(2)，
所以，点D（(1)/(2)，0）；

（2）由（1）可知，OC=2，OD=(1)/(2)，
所以，CD=√(22+((1)/(2))2)=(√(17))/(2)，
①点C是顶角顶点时，由等腰三角形三线合一的性质得，点P的纵坐标为点C的2倍，即2×2=4，
所以，点P的坐标为（(1)/(2)，4），
②点D是顶角顶点时，若点P在点D的上方，则P（(1)/(2)，(√(17))/(2)），
若点P在点D的下方，则P（(1)/(2)，-(√(17))/(2)）；
综上所述，抛物线对称轴上存在点P（(1)/(2)，4）或（(1)/(2)，(√(17))/(2)）或（(1)/(2)，-(√(17))/(2)），使△PCD是以CD为腰的等腰三角形；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

b＝2

2k+b＝0

，
解得

k＝−1

b＝2

，
所以，直线BC的解析式为y=-x+2，
∵点E（m，n）是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，
∴EF=-m²+m+2-（-m+2）=-m²+2m，
∴S_△CBF=S_△CBE+S_△BEF，
=(1)/(2)（-m²+2m）×2，
=-m²+2m，
=-（m-1）²+1，
∴当m=1时，△CBF的面积最大为1，
此时，n=-1+2=1，
所以，点E的坐标为（1，1）．