关于x的方程x^4+ax^2+b=0有解，是关于x的方程x^2+ax+b=0的必要不充分条件，求过程

Question

关于x的方程x^4+ax^2+b=0有解，是关于x的方程x^2+ax+b=0的必要不充分条件，求过程

Answer 1

解由关于x的方程x^4+ax^2+b=0有解
设M=x^2,则M≥0
则原方程变为M^2+aM+b=0有解，设其根为M1,M2
则其Δ=a^2-4b≥0且M1+M2=-a≥0且M1M2=b≥0
故关于x的方程x^4+ax^2+b=0有解
的充要条件为Δ=a^2-4b≥0且-a≥0其b≥0。
而方程x的方程x^2+ax+b=0有解的充要条件为Δ=a^2-4b≥0，
由Δ=a^2-4b≥0且-a≥0其b≥0是Δ=a^2-4b≥0的必要不充分条件
故证得关于x的方程x^4+ax^2+b=0有解，是关于x的方程x^2+ax+b=0的必要不充分条件