如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H．（1）求证：AH=BH；（2）若∠BAC=60°，求FGDG的值．

Question

如图，在△ABC中，AC>AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H．

（1）求证：AH=BH；
（2）若∠BAC=60°，求(FG)/(DG)的值．

Answer 1

（1）证明：∵BF⊥AD，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠AMG+∠MAG=90°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAG=∠MAG，
∴∠ABG=∠AMG，
∴AB=AM，
∴BG=MG，
∵BE=EC，
∴GE∥AC，
∴(BH)/(AH)=(BE)/(CE)，
∴AH=BH；


（2） 延长EH到P，使GH=HP，连接AP和BP，
∵AH=BH，
∴四边形APBG是平行四边形，
∴AP=BG，AP∥BG，
∴(GF)/(PA)=(GE)/(PE)，
∴(GF)/(BG)=(GE)/(PE)，
同理，(GD)/(AG)=(GE)/(PE)，
∴(GF)/(BG)=(GD)/(AG)，
∴(GF)/(GD)=(BG)/(AG)，
∵∠BAC=60°，AD是角平分线，
∴∠BAG=30°，
在Rt△ABG中，(BG)/(AG)=tan30°=(√(3))/(3)，
∴(FG)/(DG)=(√(3))/(3)．