怎么证明方程X³－X－1＝0恰有一个实根,而且这个实根是无理数

Question

怎么证明方程X³－X－1＝0恰有一个实根,而且这个实根是无理数

Answer 1

首先,令f(x)=x^3-x-1
则f'(x)=3x^2-1, 得极值点x=-1/√3, 1/√3
极大值f(-1/√3)=-1/(3√3)+1/√3-1=2/(3√3)-1=1
代入方程得： m^3/n^3-m/n-1=0
m^3/n^2=m+n
因为(m,n)=1,而m^3/n^2为整数m+n,因此只能有n=1
这样有m^3=m+1,但上面已知,m^3=m+1的实根在(1,2)区间,不是整数
所以不存在这样的m.
因此方程的实根为无理数.