4x²-8nx-3n=2和x²-(n+3)x-2n²+2=0是否有这样的n值,使第一个方程两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?求出这样的n值,若不存在,请说明理由

Question

4x²-8nx-3n=2和x²-(n+3)x-2n²+2=0 是否有这样的n值,使第一个方程两个
实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?求出这样的n值,若不存在,请说明理由

Answer 1

x1,x2为第一个方程的根.有实根需有：delta=(8n)^2-16(-3n-2)=16(4n^2+3n+2)>=0.此式恒成立x3,x4为第二个方程的根.x^2-(n+3)x-2(n-1)(n+1)=0-->x3=1-n,x4=2n+2,有整根则2n为整数.(x1-x2)^2=(x1-x2)^2-4x1x2=4n^2+3n+2当4n^2+3n+2=1-n--> 4n^2+4n+1=0---> n=-1/2,满足当4n^2+3n+2=2n+2-->4n^2+n=0--> n=0,-1/4（舍去）综合得：n=-1/2 or n=0