已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式及B的坐标；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：

Question

已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x ² +bx+c经过点A、C，点B是抛物 线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式及B的坐标；
（2）设点P是直线AC上一点，且S _△ABP ：S _△BPC =1：3，求点P的坐标；
（3）直线y= (1)/(2) x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），
∵抛物线y=-x ² +bx+c经过点A、C，
∴

-9-3b+c=0

c=6

，
解得：

b=-1

c=6

．
∴抛物线的解析式为y=-x ² -x+6，
当y=0时，整理得x ² +x-6=0，
解得：x ₁ =2，x ₂ =-3，
∴点B（2，0）．

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵S _△ABP ：S _△BPC =1：3，
∴ ((1)/(2)AP•BD)/((1)/(2)PC•BD) = (1)/(3) ，
∴AP：PC=1：3
由勾股定理，得AC=

A O 2 +C O 2

=3

5

当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，
∴ (PH)/(OC) =(AP)/(AC) =(1)/(4)
∴PH= (3)/(2) ，
∴ (3)/(2) =2x+6，
∴x=- (9)/(4) ，
∴点P（ -(9)/(4) ， (3)/(2) ）
当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足
∵AP：PC=1：3
∴AP：AC=1：2，
∴ (PG)/(OC) =(AP)/(AC) =(1)/(2) ，
∴PG=3，
∴-3=2x+6
x=-(9)/(2) ，
∴点P（ -(9)/(2) ，-3）．

（3）存在a的值，使得∠MON=90°，
设直线y= (1)/(2) x+a与抛物线y=-x ² -x+6的交点为M（x _M ，y _M ），N（x _N ，y _N ）（M在N左侧）
则

x 1 = x M

y 1 = y N

x 2 = x N

y 2 = y N

为方程组

y=(1)/(2) x+a

y=- x 2 -x+6

的解
分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．
∴M′（x _M ，0），N′（x _N ，0），
∴OM′=-x _M ON′=x _N
∵∠MON=90°，
∴∠MOM′+∠NON′=90°，
∵∠M′MO+∠MOM′=90°，
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O ∽ Rt△ON′N，
∴ (MM′)/(ON′) =(OM′)/(NN′) ，
∴MM′•NN′=ON′•OM′，
∴-x _M •x _N =y _M •y _N ，
由方程组消去y整理，得：x ² + (3)/(2) x+a-6=0．
∴x _M 、x _N 是方程x ² + (3)/(2) x+a-6=0的两个根，
由根与系数关系得，x _M +x _N = -(3)/(2) ，x _M •x _N =a-6
又∵y _M •y _N =（ (1)/(2) x _M +a）（ (1)/(2) x _N +a）= (1)/(4) x _M •x _N + (a)/(2) （x _M +x _N ）+a ² = (1)/(4) （a-6）- (3)/(4) a+a ²
∴-（a-6）= (1)/(4) （a-6）- (3)/(4) a+a ² ，
整理，得2a ² +a-15=0
解得a ₁ =-3，a ₂ = (5)/(2)
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a= (5)/(2) ．