已知：函数f（x）=ax+bx+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=52，f（2）=174，（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0，12

Question

已知：函数f（x）=ax+ (b)/(x) +c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= (5)/(2) ，f（2）= (17)/(4) ，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0， (1)/(2) ）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax- (b)/(x) +c+ax+ (b)/(x) +c=0∴c=0
由f（1）= (5)/(2) ，f（2）= (17)/(4) ，得a+b= (5)/(2) ，2a+ (b)/(2) = (17)/(4) 解得a=2，b= (1)/(2)
∴a=2，b= (1)/(2) ，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+ (1)/(2x) ，∴f′（x）=2- (1)/(2 x2)
当x∈（0， (1)/(2) ）时，0＜2x ² ＜ (1)/(2) ， (1)/(2 x2) ＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0， (1)/(2) ）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2- (1)/(2 x2) =0，x＞0得x= (1)/(2)
∵当x＞ (1)/(2) ， (1)/(2 x2) ＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（ (1)/(2) ，+∞）上为增函数．在（0， (1)/(2) ）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（ (1)/(2) ）=2．