设A,B均为N阶方阵,且A,B只有某一列不同,其他列均相同,已知|A|=a,|B|=b求|A+B|..

Question

设A,B均为N阶方阵,且A,B只有某一列不同,其他列均相同,已知|A|=a,|B|=b 求|A+B|..

Answer 1

以下以Aij,Bij,表示|A|,|B|的代数余子式.
aij,bij表示A,B的元素.
设它们的第j列不同.
现依第j列展开,得:
|A|=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj=a. (1)
|B|=b1jB1j+b2jB2j+...+bnjBnj=b. (2)
注意到:Aij=Bij i=1,2,...n.
(1)+(2):
(a1j+b1j)A1j+(a2j+b2j)A2j+...+
+(anj+bnj)Anj=a+b (3)
记(3)为|C|,它与A,B仅仅第j列不同,且第j 列为A,B的第j列之和.
再讨论D=(A+B).它的第j列为A,B的第j列之和,其余元素为A(或B)的对应元素的2倍,
即dik=2aik=2bik k不等于j
故对D=(A+B)依第j列展开得:
|D|=|A+B|=(a1j+b1j)D1j+(a2j+b2j)D2j+...+
+(anj+bnj)Dnj (4)
由于:Dij=[2^(n-1)]*Aij (每列有公因子2,
共有(n-1)列.)
故:|D|=|A+B|=
[2^(n-1)]*{(a1j+b1j)A1j+(a2j+b2j)A2j+...+
+(anj+bnj)Anj} (注意到(3)式)
=[2^(n-1)]*(a+b)
即|A+B|=[2^(n-1)]*(a+b)