如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．（1）写出图中所有的等腰三角形；（2）若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数．

Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED．

（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED=114°，求∠ABD和∠ACB的度数．

Answer 1

（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵BE=BD=BC，
∴△BCD，△BED是等腰三角形；
∴图中所有的等腰三角形有：△ABC，△BCD，△BED；
（2） ∵∠AED=114°，
∴∠BED=180°-∠AED=66°．
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=66°．
∴∠ABD=180°-66°×2=48°．
解法一：设∠ACB=x°，
∴∠ABC=∠ACB=x°．
∴∠A=180°-2x°．
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=x°．
又∵∠BDC为△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD．
∴x=180-2x+48，解得：x=76．
∴∠ACB=76°．（10分）
解法二：设∠ACB=x°，
∴∠ABC=∠ACB=x°．
∴∠DBC=x°-48°．
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠ACB=x°．
又∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，
∴x-48+x+x=180，解得：x=76．
∴∠ACB=76°．