已知（a2+1）n展开式中各项系数之和等于（165x2+1x）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

Question

已知（a²+1）ⁿ展开式中各项系数之和等于（(16)/(5)x²+(1)/(√(x))）⁵的展开式的常数项，而（a²+1）ⁿ的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

Answer 1

由（(16)/(5)x²+(1)/(√(x))）⁵得，
T_r+1=C₅^r（(16)/(5)x²）^5-r（(1)/(√(x))）^r=（(16)/(5)）^5-r•C₅^r•x(20−5r)/(2)．
令T_r+1为常数项，则20-5r=0，
∴r=4，∴常数项T₅=C₅⁴×(16)/(5)=16．
又（a²+1）ⁿ展开式的各项系数之和等于2ⁿ．
由题意得2ⁿ=16，∴n=4．
由二项式系数的性质知，（a²+1）ⁿ展开式中二项式系数最大的项是中间项T₃，
∴C₄²a⁴=54，
∴a=±√(3)．