（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（a，116）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c

Question

（2014•长沙）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（√(a)，(1)/(16)）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x₁，0），N（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（√(a)，(1)/(16)）两点，
∴抛物线的一般式为：y=ax²，
∴(1)/(16)=a（√(a)）²，
解得：a=±(1)/(4)，
∵图象开口向上，∴a=(1)/(4)，
∴抛物线解析式为：y=(1)/(4)x²，
故a=(1)/(4)，b=c=0；

（2）设P（x，y），⊙P的半径r=√(x2+(y−2)2)，
又∵y=(1)/(4)x²，则r=√(x2+((1)/(4)x2−2)2)，
化简得：r=√((1)/(16)x4+4)＞(1)/(4)x²，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设P（a，(1)/(4)a²），∵PA=√((1)/(16)a4+4)，
作PH⊥MN于H，则PM=PN=√((1)/(16)a4+4)，
又∵PH=(1)/(4)a²，
则MH=NH=√((1)/(16)a4+4−((1)/(4)a2)2)=2，
故MN=4，
∴M（a-2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），∴AM=√((a−2)2+4)，AN=√((a+2)2+4)，
当AM=AN时，√((a−2)2+4)=√((a+2)2+4)，
解得：a=0，
当AM=MN时，√((a−2)2+4)=4，
解得：a=2±2√(3)，则(1)/(4)a²=4±2√(3)；
当AN=MN时，√((a+2)2+4)=4，
解得：a=-2±2√(3)，则(1)/(4)a²=4±2√(3)；
综上所述，P的纵坐标为0或4+2√(3)或4-2√(3)．