规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且CX0=1．这是组合数Cnm（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C-153的值；（2）组合数的两个性质：①Cnm=Cnn-m；②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推

Question

规定

C

m x

=(x(x-1)…(x-m+1))/(m!)，其中x∈R，m是正整数，且C_X⁰=1．这是组合数C_n^m（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求C_-15³的值；
（2）组合数的两个性质：①C_n^m=C_n^n-m；②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m是否都能推广到C_x^m（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推广，请写出推广的形式并给予证明；若不能请说明理由．
（3）已知组合数C_n^m是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z．

Answer 1

（1）由题意C_-15³=(-15×(-16)×(-17))/(3!)=-C₁₇³=-680   …（4分）
（2）性质①C_n^m=C_n^n-m不能推广，例如x=√(2)时，

C

1 √(2)

有定义，但

C	√(2)-1 √(2)

无意义；
性质②C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m 能推广，它的推广形式为C_x^m+C_x^m-1=C_x+1^m，x∈R，m∈N^*
证明如下：当m=1时，有C_x¹+C_x⁰=x+1=C_x+1¹；   …（1分）
当m≥2时，有C_x^m+C_x^m-1=(x(x-1)…(x-m+1))/(m!)+(x(x-1)…(x-m+2))/((m-1)!)=(x(x-1)…(x-m+2))/((m-1)!)×(((x-m+1))/(m)+1)=(x(x-1)…(x-m+1)(x+1))/(m!)=C_x+1^m，（6分）
（3）由题意，x∈Z，m是正整数时
当x≥m时，组合数C_x^m∈z成立；
当0≤x＜m 时，

C

m x

=(x(x-1)(x-2)⋅⋅⋅0⋅⋅⋅(x-m+1))/(m!)=0∈Z，结论也成立；
当x＜0时，因为-x+m-1＞0，∴C_x^m=(x(x-1)…(x-m+1))/(m!)=（-1）^m((-x+m-1)…(-x+1)(-x))/(m!)=（-1）^mC_-x+m-1^m∈z（7分）
综上所述当x∈Z，m是正整数时，C_x^m∈Z