已知数列{an}的前9项和为153，且点P（an，an+1）（n∈N+）在直线x-y+3=0上（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）从数列{an}中，依次去除第2项、第8项、第24项…第n•2n项，按原来的顺序组成一个新

Question

已知数列{a_n}的前9项和为153，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直线x-y+3=0上
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a_n}中，依次去除第2项、第8项、第24项…第n•2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅲ）求证：(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)<(1)/(4)．

Answer 1

（I） ∵点P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直线x-y+3=0上，∴a_n-a_n+1+3=0．即a_n+1-a_n=3．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3．
∴9a₁+(9×8)/(2)×3=153，解得a₁=5．
∴a_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II） b_n=3•n•2ⁿ+2，S_n=3（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ）+2n，
设T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=(2(2n-1))/(2-1)-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6+2n．
（III）证明：b_n=3•n•2ⁿ+2，
3•n•2ⁿ+2-4•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ+2（n≥1），
∴(1)/(bn)≤(1)/(4×2n)，当且仅当n=1时取等号．
∴(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)≤((1)/(8)(1-(1)/(2n)))/(1-(1)/(2))=(1)/(4)-(1)/(4×2n)<(1)/(4)．
∴(1)/(b1)+(1)/(b2)+…+(1)/(bn)<(1)/(4)．