如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），以AE为边作∠EAF，使得∠EAF=12∠BAD，射线AF交边CD于点F．（1）如图1，当点E是边CB的中点时，判断并证明线段AE，AF之间

Question

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），以AE为边作∠EAF，使得∠EAF=(1)/(2)∠BAD，射线AF交边CD于点F．
（1）如图1，当点E是边CB的中点时，判断并证明线段AE，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E不是边BC的中点时，求证：BE=CF．

Answer 1

（1）AE=AF，理由如下：
连接AC．如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°．
∴∠B=∠ACF=60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD．
∴∠AEB=∠AFC．
在△ABE和△ACF中，

∠B=∠ACF

∠AEB=∠AFC

AB=AC

，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE=AF．
（2）证明：由（1）得：∠B=60°，△ABCA是等边三角形，∠EAF=60°，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠B=60°，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF

AB=AC

∠B=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．