设S1＝1+112+122，S2＝1+122+132，S3＝1+132+142，…，Sn＝1+1n2+1(n+1)2，设S＝S1+S2+…+Sn．（1）设Tn=S，求Tn（用含n的代数式表示）（2）求使Tn≥2011的最小正整数值．

Question

设S1＝1+(1)/(12)+(1)/(22)，S2＝1+(1)/(22)+(1)/(32)，S3＝1+(1)/(32)+(1)/(42)，…，Sn＝1+(1)/(n2)+(1)/((n+1)2)，设S＝√(S1)+√(S2)+…+√(Sn)．
（1）设Tn=S，求Tn（用含n的代数式表示）
（2）求使Tn≥2011的最小正整数值．

Answer 1

（1）∵Sn＝1+(1)/(n2)+(1)/((n+1)2)
=(n4+2n3+3n2+2n+1)/(n2•(n+1)2)
=([n(n+1)+1]2)/(n2•(n+1)2)，
∴√(Sn)＝√(([n(n+1)+1]2)/(n2•(n+1)2))=(n(n+1)+1)/(n(n+1))=1+(1)/(n)−(1)/(n+1)，
所以√(S1)＝1+1−(1)/(2)，
√(S2)＝1+(1)/(2)−(1)/(3)，
√(S3)＝1+(1)/(3)−(1)/(4)，
…
√(Sn)＝1+(1)/(n)−(1)/(n+1)，
∴S＝√(S1)+√(S2)+…+√(Sn)
=1+1-(1)/(2)+1+(1)/(2)−(1)/(3)+1+(1)/(3)−(1)/(4)+…+1+(1)/(n)−(1)/(n+1)
=n+[（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（(1)/(n)-(1)/(n+1)）]=n+1-(1)/(n+1)．
∵Tn=S，∴Tn=n+1-(1)/(n+1)．
（2）∵Tn=n+1-(1)/(n+1)≥2011
∴((n+1)2−1)/(n+1)=(n2+2n)/(n+1)≥2011，
∵n∈N^*，∴n²+2n≥2011n+2011，
即n²-2009n-2011≥0，
解得n≥(2009+√(4028077))/(2)，或n≤(2009−√(4028077))/(2)．
∵n∈N^*，∴n的最小值是2008．