角AOB=45度,OA=根号2,OB=3.若P在三角形OBA内,求三角形OPA为钝角三角形的概率是?

Question

角AOB=45度,OA=根号2,OB=3.若P在三角形OBA内,求三角形OPA为钝角三角形的概率是?

Answer 1

解,
过A做AM垂直OB于M,再过A做AN垂直AO,且交OB于N.
当P落在三角形AOP内时,角APO>角AMO=90度,所以这时三角形OPA是以角APO为钝角的钝角三角形.
当P落在三角形ANB内时,角PAO>角NAO=90度,所以这时三角形OPA是以角OAP为钝角的钝角三角形.
两种情况下均满足三角形OPA是钝角三角形,所以所求概率就是三角形AMO的面积与三角形ANB的面积之和占整个三角形ABO的面积的比例.
因为角AOB=45度,且OA=根号2,所以AM=MO=1.
同理AN=AO=根号,ON=2.
三角形AOB的面积是S = 1/2 * AO * OB * sin45 = 1/2 * (根号2) * 3 * (根号2) / 2 = 3/2
三角形AMN的面积是S' = 1/2 * MN * AM = 1/2 * (ON- OM) * AM = 1/2 * (2-1) * 1 = 1/2
所以所求概率为 (3/2 - 1/2) / (3/2) = 2/3