设矩阵A是3阶矩阵，特征值是1，2，3，则：（i）A+2E的特征值是；（ii）A-1的特征值是1，12，131，12，13；（iii）A*的特征值是；（iv）A2+E的特征值是；（v）（A*-2E）2

Question

设矩阵A是3阶矩阵，特征值是1，2，3，则：
（i）A+2E的特征值是______；       
（ii）A^-1的特征值是

1，(1)/(2)，(1)/(3)

1，(1)/(2)，(1)/(3)

；
（iii）A^*的特征值是______；          
（iv）A²+E的特征值是______；
（v）（A^*-2E）²的特征值是______．

Answer 1

设λ是A的任意特征值，α是矩阵A对应的特征向量，即Aα=λα，其中λ=1，2，3，
∴（i）（A+2E）α=Aα+2Eα=（λ+2）α
∴λ+2是A+2E的特征值，
∴A+2E的特征值为：3，4，5；
（ii）由于A−1α＝(1)/(λ)(A−1A)α＝(1)/(λ)α
这说明：(1)/(λ)是A^-1的特征值，即为
1，(1)/(2)，(1)/(3)；
（iii）2由于A^*=|A|A^-1，于是A*α＝|A|A−1α＝(|A|)/(λ)α
即若λ是矩阵A的特征值，则(|A|)/(λ)是伴随矩阵A^*的特征值．
而|A|=6
∴伴随矩阵A^*的特征值为：6、3、2
（iv）由于（A²+E）α=（λ²+1）α
∴A²+E的特征值为：1²+1=2，2²+1=5，3²+1=10
即为：2，5，10
（v）由于（A^*-2E）²α=A^*2α+4Eα-4A^*α
∴（A^*-2E）²的特征值为：6²+4-4*6=16、3²+4-4•3=1
和2²+4-4•2=0．