若直线y=x是曲线y=x3-3x2+px的切线，则实数p的值为（）A.1B.0C.134D.1或134

Question

若直线y=x是曲线y=x³-3x²+px的切线，则实数p的值为（　　）
A. 1
B. 0
C. (13)/(4)
D. 1或(13)/(4)

Answer 1

设切点P（x₀，x₀）
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+px的切线
∴切线的斜率为1，
∵y=x³-3x²+px，
∴y′︳_x=x0=3x²-6x+p _x=x0=3x₀²-6x₀+p，
根据切线的几何意义得：
3x₀²-6x₀+p=1①
∵点P在曲线上，
∴x₀³-3x₀²+px₀=x₀②
由①，②联立得

x0=0

3x

2 0

-6x0+p-1=0

③
或

x

2 0

-3x0+p-1=0

3

x

2 0

-6x0+p-1=0

④
由③得，p=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或 (3)/(2)，把x₀的值代入④中，得到p=1或(13)/(4)，
综上所述，p的值为1或 (13)/(4)．
故选D．