如图，已知点A、点B、点C、点D在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．求证：△ABD为等腰三角形．

Question

如图，已知点A、点B、点C、点D在⊙O上，CD为∠ACE的角平分线．求证：△ABD为等腰三角形．

Answer 1

考点：
圆内接四边形的性质 等腰三角形的判定 圆周角定理
专题：
证明题
分析：
先由圆内接四边形的对角互补得出∠DCB+∠DAB=180°，由邻补角定义得到∠DCB+∠DCE=180°，那么∠DCE=∠DAB，再根据角平分线的定义及圆周角定理得出∠DCE=∠DCA=∠DBA=∠DAB，由等腰三角形的判定定理即可证明△ABD为等腰三角形．

证明：∵点A、点B、点C、点D在⊙O上，∴∠DCB+∠DAB=180°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB．∵CD为∠ACE的角平分线，∴∠DCE=∠DCA，∵∠DCA=∠DBA，∴∠DBA=∠DAB，∴△ABD为等腰三角形．
点评：
本题考查了圆内接四边形的性质，邻补角定义，角平分线定义，圆周角定理，等腰三角形的判定，难度适中．得到∠DCE=∠DAB是解题的关键．