CP是等边△ABC外角∠ACE平分线,点D在射线BC上,以D为顶点、DA为一边作角ADF=60°,另一边交射线CP于F（1）如图,若点D在线段BC上,求证①∠BAS=∠CDF②AD=F（提示：过点D作DG∥AC交AB于G）向左转|向右转

Question

CP是等边△ABC外角∠ACE平分线,点D在射线BC上,以D为顶点、DA为一边作角ADF=60°,
另一边交射线CP于F
（1）如图,若点D在线段BC上,求证①∠BAS=∠CDF②AD=F（提示：过点D作DG∥AC交AB于G）
向左转|向右转
备用图
（2）若点D在线段BC的延长线上（若不嫌麻烦请在备用图上画上谢谢）,那么题1中2个结论还一定成立吗?【请证明.①不一定成立,②一定成立）

Answer 1

(1)证明:过点D作DG∥AC交AB于G,设AC与DF交点为H
∵CP是等边△ABC外角∠ACE平分线
∴∠FCA=60°
∵∠ADF=∠FCA=60°,∠AHD=∠FHC
∴∠DAC=∠DFC
又∵∠DAC+∠BAD=60°=∠FCE=∠CDF+∠DFC
∴∠BAD=∠CDF.☆
又∵DG∥AC,可以得△BDG是一个等边三角形
由此知:BG=BD,∠AGD=120°=∠DCF
∵AG=DC,∠AGD=∠DCF,∠BAD=∠CDF
∴△AGD≌△DCF
∴AD=DF.★
(2)若点D在线段BC的延长线上时,第一个不一定成立,第二个一定成立
证明:此时∠BAD=∠BAC+∠CAD,而∠CDF=∠ADF+∠ADC
其中∠BAC=∠ADF60°,所以只有当∠CAD=∠ADC时第一条才成立,而只有CD=AC时两角才相等.
第二个结论,同样过点D作DG∥AC交CF于G
可以得到△CDG是一个等边三角形
同样和(1)类似可以得到∠CAD=∠GFD,∠ACD=∠FGD,CD=GD
所以△ACD≌△FGD,所以AD=DF仍成立.