在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB上一点,MD⊥AC于点D,MC与BD交于点E,过点E作EF⊥AC于点F（1）若M为AB的中点,求证F为AC的三等分点（2）若F为AC的中点,求AM/BM的值（3）若AC=nCF,则AM/AB

Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB上一点,MD⊥AC于点D,MC与BD交于点E,过点E作EF⊥AC于点F
（1）若M为AB的中点,求证 F为AC的三等分点
（2）若F为AC的中点,求AM/BM的值
（3）若AC=nCF,则AM/AB

Answer 1

（1）因∠ACB=90°,MD⊥AC于点D,所以MD‖BC.
又因M为AB的中点,CD=AD.
则M为三角形ABC的重心.
所以CF=2/3CD=2/6AC=1/3AC,即F为AC的三等分点.
（2）延长FE交AB于N.
因MD⊥AC于点D,E作EF⊥AC于点F,所以MD‖BC.
所以DM·BC=FN^2
又因F为AC的中点,MD‖BC,所以DM=1/2BC.
所以MN=1/4BC
所以ME=1/4CE
所以MN=1/4DN=1/8AB.所以AM=3/8AB.所以AM/BM的值是3/5.
（3）延长FE交AB于N.
因FN‖BC,所以CF：AC=（BC-FN）：BC.
解得FN=（n-1）/nBC.
因DM‖FN‖BC,所以DM·BC=FN^2,得DM=[（n-1）/n]^2BC
AM：AB=DM：BC=[（n-1）/n]^2BC：BC==[（n-1）/n]^2==（n-1）^2/n^2.