在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,BC=3,D是边AC上的一个动点,DE⊥AB,垂足为E,点F在CD上,且DE=DF,作FP⊥EF,交线段AB于点P,交线段CB的延长线于点G.(1)求证:AF=FP;(2)设AD=X,GP=Y,求Y关于X的函数解析式,并写出它的定

Question

在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,BC=3,D是边AC上的一个动点,DE⊥AB,垂足为E,点F在CD上,且DE=DF,作FP⊥EF,
交线段AB于点P,交线段CB的延长线于点G.(1)求证:AF=FP;(2)设AD=X,GP=Y,求Y关于X的函数解析式,并写出它的定义域;(3)若点P到AC的距离等于线段BP的长,求线段AD的长.

Answer 1

1)因为DE⊥AB
所以∠AED=90
因为∠A=30
所以∠ADE=90-30=60,
所以∠EDF=180-60=120
因为DE=DF
所以∠DFE=(180-∠EDF)/2=30,
因为PF⊥EF
所以∠PFE=90,
所以∠PFA=∠PFE+∠AFE=90+30=120,
所以在△AFP中,∠APF=180-∠A-∠PFA=30
所以∠APF=∠A=30
所以AF=PF
2)设AD=x,
因为在直角三角形ADE中,∠A=30,
所以DE=AD/2=x/2,
所以DF=DE=x/2
所以PF=AF=x+x/2=3x/2,FC=AC-AF=6-3x/2,
因为∠GPB=∠APF=30,
所以∠G=90-30=60=∠C
所以FG=FC=6-3x/2,
所以y=GP=GF-FP=(6-3x/2)-3x/2=6-x
03)因为点P到AC的距离等于线段BP的长
所以P在∠ACB的平分线上,
所以∠BCP=∠ACB/2=30
所以BP=3√3
所以在直角三角形BGP中,y=2BP=6√3
即y=6-x=6-x=3√3
解得x=6-3√3
即AD=6-3√3