将两个完全相同的三角板按如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求∠CFE的度数；（2）求证：AF+EF=DE；（3）若AE=3，试求DE的长．

Question

将两个完全相同的三角板按如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求∠CFE的度数；
（2）求证：AF+EF=DE；
（3）若AE=3，试求DE的长．

Answer 1

（1）∵∠ACB=∠DEB=90°，∠A=30°，
∴∠BEF=90°，∠ABC=60°，
∵∠ABC+∠ACB+∠CFE+∠BEF=360°
∴∠CFE=120°．
答：∠CFE的度数为120°；
（2）证明：连接BF，
∵△BED≌△BCA，
∴BE=BC，DE=AC．
在Rt△BCF和Rt△BEF中

BF＝BF

BC＝BE

∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）
∴CF=EE．
∵AC=CF+AF，
∴DE=EF+AF．
（3）∵∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，
∴AB=2BC，BD=2BE
∴AB=2BE，
∴AE=BE．
∵AE=3，
∴BE=3，
∴BD=6，
在Rt△BED中，由勾股定理，得
DE=3√(3)．
答：DE=3√(3)．