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如图,已知AM∥BN,∠A=∠B=90°,AB=4,点D是射线AM上的一个动点(点D与点A不重合),点E是线段AB上的一个动点(点E与点A、B不重合),连接DE,过点E作DE的垂线,交射线BN于点C,连接DC.设AE=
题目详情
如图,已知AM∥BN,∠A=∠B=90°,AB=4,点D是射线AM上的一个动点(点D与点A不重合),点E是线段AB上的一个动点(点E与点A、B不重合),连接DE,过点E作DE的垂线,交射线BN于点C,连接DC.设AE=x,BC=y.

(1)当AD=1时,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(2)在(1)的条件下,取线段DC的中点F,连接EF,若EF=2.5,求AE的长;
(3)如果动点D、E在运动时,始终满足条件AD+DE=AB,那么请探究:△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化?请说明理由.

(1)当AD=1时,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(2)在(1)的条件下,取线段DC的中点F,连接EF,若EF=2.5,求AE的长;
(3)如果动点D、E在运动时,始终满足条件AD+DE=AB,那么请探究:△BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题中条件可得△AED∽△BCE,
∴
=
,
∵AE=x,BC=y,AB=4,AD=1
∴BE=4-x,
∴
=
,
∴y=-x2+4x(0<x<4);
(2)∵DE⊥EC,
∴∠DEC=90°,
又∵DF=FC,
∴DC=2EF=2×2.5=5,
过D点作DH⊥BN于H,则DH=AB=4,
∴Rt△DHC中,HC=
=
=3,
∴BC=BH+HC=1+3=4,即y=4,
∴-x2+4x=4
解得:x1=x2=2,
∴AE=2;
(3)△BCE的周长不变.理由如下:
C△AED=AE+DE+AD=4+x,BE=4-x,
设AD=m,则DE=4-m,
∵∠A=90°,
∴DE2=AE2+AD2即,(4-m)2=x2+m2
∴m=
,
由(1)知:△AED∽△BCE,
∴
=
=
=
∴C△BCE=
•C△ADE=
•(4+x)=8
∴△BCE的周长不变.
∴
AD |
BE |
AE |
BC |
∵AE=x,BC=y,AB=4,AD=1

∴BE=4-x,
∴
1 |
4−x |
x |
y |
∴y=-x2+4x(0<x<4);
(2)∵DE⊥EC,
∴∠DEC=90°,
又∵DF=FC,
∴DC=2EF=2×2.5=5,
过D点作DH⊥BN于H,则DH=AB=4,
∴Rt△DHC中,HC=
DC2−DH2 |
52−42 |
∴BC=BH+HC=1+3=4,即y=4,
∴-x2+4x=4
解得:x1=x2=2,
∴AE=2;
(3)△BCE的周长不变.理由如下:
C△AED=AE+DE+AD=4+x,BE=4-x,
设AD=m,则DE=4-m,
∵∠A=90°,
∴DE2=AE2+AD2即,(4-m)2=x2+m2
∴m=
16−x2 |
8 |
由(1)知:△AED∽△BCE,
∴
C△ADE |
C△BCE |
AD |
BE |
| ||
4−x |
4+x |
8 |
∴C△BCE=
8 |
4+x |
8 |
4+x |
∴△BCE的周长不变.
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